Олексій народився у м. Ровеньки Луганської області. Коли хлопцеві було 10 років, родина переїхала до с. Пархомівка. Загальну середню освіту здобув у Пархомівській ЗОШ І-ІІІ ступенів. Закінчив Харківський Національний університет Внутрішніх справ. З 2016 року старший лейтенант Биковський працював у м. Харків у лавах Національної поліції на посаді дільничого. У 2020 році звільнився. До повномасштабного вторгнення працював торговим представником ПП «Перша приватна броварня».
Коли почалася війна, Олексій добровільно став на захист Батьківщини, вступив до лав до славетного 15 полку Національної гвардії України. У квітні 2022 року сержант Биковський (позивний «Змій») самостійно прибув на фронт до міста Рубіжне, де вже велися тяжкі бої. Олексій був піхотинцем, виконував завдання на Луганському напрямку – м. Рубіжне м. Сєвєрдонецьк, м. Лисичанськ; Донецькому напрямку – м. Горлівка, м. Святогорськ.
Брав участь у звільненні населених пунктів Брусківка, Озерне, Діброва, Лиман. Виконував бойові завдання напрямку м. Кремінна. Мав більше 7 штурмових виїздів та 4 оборонні дії на рубежі стримання противника.
14.10.2022 на станції КПВв «Майорськ» (в напрямку Горлівки) самостійно уразив місце дислокації ворога та врятував життя свого командира.
Нагороджений почесною грамотою за відвагу, медаллю за оборону м. Рубіжне, почесною грамотою за звільнення м. Лиман, орденом Богдана Хмельницького ІІІ ступеня за особливі заслуги по захисту держави.
Сержант Биковський загинув від осколочного поранення 09.01.2023 у Серебрянському лісі (напрямок м. Кремінна). Поховали воїна у с. Пархомівка.
У Олексія залишились мама, дружина та сестра.
Вічна пам’ять Герою!